PhD thesis

Damping and Amplification of MHD Quasi-modes in Coronal Plumes and Loops


Abstract:

In this thesis linear magnetohydrodynamical (MHD) oscillations of coronal loops and coronal plumes are studied in 1-dimensionally (radially) stratified cylindrically symmetric equilibrium models. Due to the stratification, singularities appear in the differential equations and the associated continuous spectrum causes damping or resonant absorption of discrete global oscillations. The singularities are removed in dissipative MHD and the singular behaviour of the quasi-modes (not true eigenmodes) is replaced with a dissipative layer around the ideal singularity. The ideal quasi-modes thus correspond to dissipative eigenmodes. An analytical proof of this is presented (for small damping at least).
In coronal plumes the velocity shear between the plume plasma and the interplume plasma can act as an energy source for the eigenmodes which can be amplified, and are therefore overstable. In the absence of a stratified layer, this results in the Kelvin-Helmholtz instability (KHI). In the presence of a stratified layer, the resonant absorption can result in overstability rather than damping (resonant flow instability, RFI). In the models which we studied, RFI occurs at lower velocity shears than KHI.
However, the results are crucially dependent on the profiles of the equilibrium values in the stratified layer. We have demonstrated this profile dependence in the driven (over)reflection problem in a stationary state. Based on a discussion by Walker (2000), who showed that a proper definition of the wave energy in terms of quadratic forms clearly reveals the velocity shear as an energy source, we were able to explain the profile dependence in a natural way. We showed that resonant absorption can equally lead to the suppression of the KHI.
By an appropriate reformulation of the concept of `negative energy waves', the frame dependence of the energy definition is transformed in a position dependence. This clarifies that the energy needed to set up a wave is dependent on how it is driven and, most importantly, where the driving force is acting. In this way the profile dependence can be explained naturally in the eigenvalue problem as well.
Resonant absorption is an attractive explanation for the observed rapid damping of coronal loop oscillations. However, the analytical eigenmode calculations, that assume the stratified layer to be small, are not consistent with the observed rapid damping and the long inhomogeneity length scales. We calculate the spectrum of eigenoscillations for large inhomogeneity length scales by means of the LEDA numerical code. This reveals that an extrapolation of the analytic formula for small layers can be made which is fairly accurate, but still deviates up to 25% with the exact results. Keeping in mind the observational uncertainties, these computations are in good agreement with the observed damping times.

Nederlandstalige samenvatting:

In dit proefschrift worden lineaire magnetohydrodynamische (MHD) eigentrillingen van coronale pluimen en coronale lussen bestudeerd aan de hand van 1-dimensionaal (radieel) gestratifieerde cilinder-symmetrische evenwichtsmodellen. Door de stratificatie verschijnen er singulariteiten en ontstaat er een continuüm van eigenfrequenties wat resulteert in demping of resonante absorptie van discrete globale eigentrillingen. In dissipatieve MHD worden de singulariteiten opgeheven, en het singuliere gedrag van de quasi-modi (geen echte eigen modi) wordt vervangen door een dissipatieve laag rondom de ideale singulariteit. De ideale quasi-modi komen dan ook overeen met dissipatieve eigen modi. Hiervan wordt een analytisch bewijs geleverd (voor zwakke demping).
In coronale pluimen kan het verschil in stromingssnelheid in de pluimen en rondom de pluimen energie leveren aan de eigentrillingen zodat deze versterkt worden, dit noemen we overstabiliteit. In afwezigheid van een gestratifieerde laag treedt hierdoor de Kelvin-Helmholtz instabiliteit (KHI) op. Bij stratificatie kan resonante absorptie nu ook overstabiliteit veroorzaken i.p.v. demping (`resonant flow instability', RFI). In de modellen die we bestuderen treedt RFI op bij lagere stromingsverschillen dan nodig voor de KHI.
De resultaten blijken echter sterk afhankelijk van de profielen van de evenwichtsgrootheden in de gestratifieerde laag. We tonen deze profielafhankelijkheid aan en bestuderen ze in het (over)reflectie probleem in stationaire toestand. Gebaseerd op een discussie door Walker (2000), die aantoonde dat bij een juiste definitie van de golfenergie in termen van kwadratische vormen het stromingsverschil als een energiebron fungeert, konden we de profielafhankelijkheid eenvoudig verklaren. We toonden aan dat resonante absorptie ook tot onderdrukking van de KHI kan leiden.
Door een juiste herformulering van het concept van de `negatieve-energie-golven' wordt de afhankelijkheid van het assenstelsel omgezet in een positieafhankelijkheid van de energiedefinitie. Dit maakt duidelijk dat de energie die nodig is om een storing op te zetten afhankelijk is van hoe men die veroorzaakt en meer in het bijzonder waar de drijvende kracht aangrijpt. Op deze wijze wordt ook in het eigenwaardenprobleem de profielafhankelijkheid van de RFI op natuurlijke wijze verklaard.
Resonante absorptie is tevens een aantrekkelijke verklaring voor de geobserveerde snelle demping van oscillaties van coronale lussen. De vroegere eigenwaardenberekeningen veronderstelden een dunne overgangslaag en zijn niet consistent met de geobserveerde snelle demping en grote inhomogeniteitslengteschalen. We berekenen het spectrum voor grote inhomogeniteitslengteschalen met behulp van de numerieke code LEDA. Hieruit blijkt dat er een extrapolatie van de analytische formule voor dunne overgangslagen bestaat die redelijk acuraat is maar toch nog afwijkingen tot 25% met de exacte berekeningen kan opleveren. Indien men de observationele onzekerheden in acht neemt, mag men stellen dat de berekende waarden een goede overeenkomst vertonen met de geobserveerde dempingstijden.